1974年，建筑学教授Ernö Rubik发明了一种新工具，可以向布达佩斯商业艺术学院的学生解释几何概念。半个世纪后，魔方不仅成为历史上最畅销的玩具之一，而且还激发了一种全球文化。魔方的比赛在世界范围内举行，无数的设计变化被创造出来，它甚至引起了数学研究人员的兴趣。例如，如果立方体被篡改了——通过剥掉贴纸并重新排列它们，或者通过拆卸和重新组装它的碎片——它还能被解决吗？
魔方的研究利用了一个被称为群论的数学领域。这个框架允许我们用抽象的术语来描述立方体的运动，例如，显示出原始立方体总是可以解决的-即每个面都可以成为一个单一的，独特的颜色-在20步或更少的时间内，无论初始安排如何。但是如果稍微修改一下设计会怎么样呢？
为了回答这个问题，我们使用了合法配置的概念，它指的是魔方的任何可解状态。通过将立方体的一侧旋转90度，所有合法的配置都可以从已解的立方体中获得。从本质上讲，可以通过回溯用于解决它的步骤来反转配置。总共有43,252,003,274,489,856,000种合法的配置，这些配置中的每一种都是我们称之为组的数学结构的一个元素。
从这个角度来看，前面的问题就变成了验证是否允许新的移动，比如交换立方体块的颜色，会产生不属于合法解决方案组的新配置。如果是这样的话，确定这些新的构型是否还能解出来。换句话说，以这种方式修改多维数据集是否会创建一个无法解决的配置？或者它会创建另一个组元素，一个合法的，可解决的配置？
例如，如果你把所有54张贴纸从立方体碎片上撕下，然后随机地贴回去，这是否会把一个具有挑战性的谜题变成一个不可能的谜题？魔方专家很快就会发现答案：合法的魔方结构总是遵循一定的规则，而这些规则很容易被撕下并重新贴上贴纸。换句话说，非合法的-不可解的-状态可以通过这种方法创建。
具体来说，在合法的配置中，不同类型的立方体都遵循严格的放置规则。这些碎片分为三大类：中心、边缘和角落。边缘是由两种不同颜色的碎片组成的。也有不可能的组合，因为立方体的相反面永远不会共享碎片。
